deep learning book-第2章 Linear Algebra
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- 2.1 Scalars, Vectors, Matrices and Tensors
- 2.2 Multiplying Matrices and Vectors
- 2.3 Identity and Inverse Matrices
- 2.4 Linear Dependence and Span
- 2.5 Norms
- 2.6 Special Kinds of Matrices and Vectors
- 2.7 Eigendecomposition
- 2.8 Singular Value Decomposition
- 2.9 The Moore-Penrose Pseudoinverse
- 2.10 The Trace Operator
- 2.11 The Determinant
- 2.12 Example: Principal Components Analysis
几个git链接：
- https://github.com/HFTrader/DeepLearningBook
- https://github.com/ExtremeMart/DeepLearningBook-ReadingNotes
- https://github.com/ExtremeMart/DeepLearningBook-CN
目录：
- 2.1 Scalars, Vectors, Matrices and Tensors
- 2.2 Multiplying Matrices and Vectors
- 2.3 Identity and Inverse Matrices
- 2.4 Linear Dependence and Span
- 2.5 Norms
- 2.6 Special Kinds of Matrices and Vectors
- 2.7 Eigendecomposition
- 2.8 Singular Value Decomposition
- 2.9 The Moore-Penrose Pseudoinverse
- 2.10 The Trace Operator
- 2.11 The Determinant
- 2.12 Example: Principal Components Analysis
2.1 Scalars, Vectors, Matrices and Tensors
- Scalars：标量，一个单独的数字。用斜体小写字母表示
\(a,n,x\) - vectors：向量，一个1-D的数组(默认都是列向量！！)。用小写斜体加粗表示
\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\)：
\[
\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix}x_1
\\ x_2
\\ ...
\\ x_n
\end{bmatrix}
\]
- matrices：矩阵，一个2-D的数组。用大写斜体加粗表示
\(\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}\)：- 矩阵转置，简单理解就是将矩阵沿着主对角线做一次镜像：
\((\boldsymbol{A}^T)_{i,j}=\boldsymbol{A}_{j,i}\)
- 矩阵转置，简单理解就是将矩阵沿着主对角线做一次镜像：
\[
(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T
\]
- tensors：张量：0维==>标量；1维==>向量；2维==>矩阵；可以更多维(用加粗大写非斜体表示)
\(\mathbf{A}\in \mathbb{R}^{i\times j\times k}\)。
2.2 Multiplying Matrices and Vectors
矩阵点积（dot product）:
\[
\\\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}
\\C_{i,j}=\sum _kA_{i,k}B_{k,j}
\]
另外，矩阵的Hadamard product（element-wise product）是对应元素相乘：
\[
\\\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\odot \boldsymbol{B}
\\C_{i,j}=A_{i,j}B_{k,j}
\]
矩阵的点积具有分配律和结合律：
\[
\\\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}
\\(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})
\]
注意，对于向量而言（\(\boldsymbol{x}\)是\(n\times 1\)的列向量，所以\(\boldsymbol{x}^T\)是\(1\times n\)的行向量）,所以\(\boldsymbol{x}_T\boldsymbol{y}\)是一个标量，他等于他的转置：
\[
\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}=(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y})^T=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{x}
\]
接下来看一下线性方程组（linear equations），\(\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{m\times n}\)是一个已知的矩阵，\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R}^{m}\)是一个已知的向量，\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^{n}\)是一个未知的向量：
\[
\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}=(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y})^T=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{x}
\]
等价于
\[
\\\boldsymbol{A}_{1,:}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}_{1,1}x_1+\boldsymbol{A}_{1,2}x_2+...+\boldsymbol{A}_{1,n}x_n=b1
\\\boldsymbol{A}_{2,:}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}_{2,1}x_1+\boldsymbol{A}_{2,2}x_2+...+\boldsymbol{A}_{2,n}x_n=b2
\\...
\\\boldsymbol{A}_{m,:}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}_{m,1}x_1+\boldsymbol{A}_{m,2}x_2+...+\boldsymbol{A}_{m,n}x_n=bm
\]
2.3 Identity and Inverse Matrices
单位矩阵：主对角线全1，其他元素全0的矩阵。单位矩阵和任何向量相乘，结果都是该向量本身。即，\(\boldsymbol{I}_n\in \mathbb{R}_{n\times n}\)，有：
\[
\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}_{n},\ \boldsymbol{I}_n\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}
\]
矩阵的逆：\(\boldsymbol{A}^{-1}\)满足：\(\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}_n\)
所以可以对方程组进行求解：\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^-1\boldsymbol{b}\)
2.4 Linear Dependence and Span
线性方程组的解只有以下三种情况：
- 无解
- 有无穷多的解：
\(\boldsymbol{x}\)和\(\boldsymbol{y}\)都是解，那么\(\boldsymbol{z}=\alpha \boldsymbol{x}+(1-\alpha )\boldsymbol{y}\)也是解 - 只有一个解
为了分析方程组有多少个解，我们可以从这个角度来理解线性方程组：我们从m维零向量出发，经过\(\boldsymbol{A}\)的n个方向的变换，最终到达m维目标向量\(\boldsymbol{b}\)所在的位置。那么，\(x_i\)就表示在这n个方向上，我分别走了多少步。
\[
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\sum _i x_i\boldsymbol{A}_{:,i}
\]
上面的式子表示，n个m维向量相加，得到一个m维向量这种操作称为线性组合（linear combination）。n个向量\({\boldsymbol{v}^{(1)},...,\boldsymbol{v}^{(n)}}\)的线性组合，指的就是每一个向量\(\boldsymbol{v}^{(i)}\)都乘以一个系数，并进行累加得到\(\sum _ic_i\boldsymbol{v}^{(i)}\)。
2.5 Norms
2.6 Special Kinds of Matrices and Vectors
2.7 Eigendecomposition
2.8 Singular Value Decomposition
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2.10 The Trace Operator
2.11 The Determinant
2.12 Example: Principal Components Analysis
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