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深入浅出强化学习-chap2 马尔科夫决策过程

标签:深入浅出强化学习, 马尔科夫决策过程, MDP, 值函数, 状态-行为值函数, 贝尔曼方程


目录

参考《深入浅出强化学习》

1. 马尔科夫决策过程理论

1.1 马尔科夫性

系统的下一个状态\(s_{t+1}\)仅与当前状态\(s_t\)有关,与之前的状态无关。

定义:状态\(s_t\)是马尔科夫的,当且仅当\(P[s_{t+1}|s_t]=P[s_{t+1}|s_1,...,s_t]\)

随机过程就是随机变量序列。如果随机变量序列的每个状态都是马尔科夫的,那么此随机过程就是马尔科夫随机过程

1.2 马尔科夫过程

马尔科夫过程是一个二元组\((S,P)\),且满足:\(S\)是有限状态集合,\(P\)是状态转移概率。状态转移概率矩阵如下:

\[ P=\begin{bmatrix} P_{11} & ... & P_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ P_{n1} & ... & P_{nn} \end{bmatrix} \]

由若干个状态组成的序列称为马尔科夫链。当给定状态转移概率时,从某个状态出发存在多条马尔科夫链。

1.3 马尔科夫决策过程

马尔科夫决策过程由元组\((S,A,P,R,\gamma)\)描述,其中:

  • \(S\)为有限的状态集
  • \(A\)为有限的动作集
  • \(P\)为状态转移概率
  • \(R\)为回报函数
  • \(\gamma\)折扣因子,用于计算累积回报

区别于马尔科夫过程,马尔科夫决策过程的态转移概率包含动作的,即\(P^a_{ss'}=P[S_{t+1}=s'|S_t=s,A_t=a]\)

强化学习的目标是给定一个马尔科夫决策过程,寻找最优策略。策略指的是,状态到动作的映射,用符号\(\pi\)表示,给定状态\(s\)时,动作集上的一个分布,即:

\[ \pi (a|s)=p[A_i=a|S_t=s] \]

含义是,策略\(\pi\)在每个状态\(s\)指定一个动作概率。如果给出的策略\(\pi\)是确定性的,那么策略\(\pi\)在每个状态\(s\)指定一个确定的动作。注,\(\sum _{a\in A}\pi(s,a)=1\)

概率在强化学习中的作用:

  • 强化学习的策略往往是随机策略。可以将探索耦合到采样的过程中。探索,指机器人尝试其他动作以便找到更好的策略
  • 实际应用中,存在各种噪声,这些噪声大都服从正态分布,可以用概率的知识去掉噪声

给定一个策略\(\pi\)时,可以计算累积回报

\[ G_t=R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+...=\sum _{k=0}^{\infty }\gamma ^kR_{i+k+1} \]

当给定策略\(\pi\)时,假设从状态\(s_t\)出发,可能有很多个状态序列,所以对应的\(G_t\)也有多个可能值。为了评价状态\(s_t\)的价值,需要一个确定的量来描述。而累积回报\(G_t\)是一个随机变量,不是确定值,但其期望是一个确定值,因此可以做为状态值函数的定义。

1.4 状态值函数与状态-行为值函数

当智能体采用策略\(\pi\),累积回报服从一个分布,累积回报状态\(s\)处的期望值定义状态值函数

\[ \upsilon _{\pi}(s)=E_{\pi}[\sum _{k=0}^{\infty }\gamma ^kR_{t+k+1}|S_t=s] \]

注:状态值函数是与策略\(\pi\)相对应的,因为策略\(\pi\)决定了累积回报\(G\)的状态分布。

状态-行为值函数为:

\[ q_{\pi}(s,a)=E_{\pi}[\sum _{k=0}^{\infty}\gamma ^kR_{t+k+1}|S_t=s,A_t=a] \]

1.5 状态值函数与状态-行为值函数的贝尔曼方程

贝尔曼方程(Bellman Equation)也被称作动态规划方程(Dynamic Programming Equation)。

状态值函数的贝尔曼方程:

\[ \begin{split} \\\upsilon(S_t)&=\upsilon(s)=E[G_t|S_t=s] \\&=E[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+...|S_t=s] \\&=E[R_{t+1}+\gamma (R_{t+2}+\gamma R_{t+3}+...)|S_t=s] \\&=E[R_{t+1}+\gamma G_{t+1}|S_t=s] \\&=E[R_{t+1}+\gamma \upsilon(S_{t+1})|S_t=s] \end{split} \]

最后一个等号的证明(书P23,有小改……)

\[ \begin{split} \\\upsilon(S_t)&=E_{S_t,S_{t+1},...}(R_{t+1}+\gamma G_{t+1}|S_t=s) \\&=E_{S_t}(R_{t+1})+\gamma E_{S_{t+1},...}(G_{t+1}) \\&=E_{S_t}(R_{t+1}+\gamma \upsilon(S_{t+1})) \\&=E(R_{t+1}+\gamma\upsilon(S_{t+1})) \end{split} \]

同理,状态-行为值函数的贝尔曼方程:

\[ q_{\pi}(s,a)=E_{\pi}[R_{t+1}+\gamma q(S_{t+1},A_{t+1})|S_t=s,A_t=a] \]

状态值函数与状态-行为值函数的关系:

\[ \upsilon_{\pi}(s)=\sum_{a\in A}\pi(a|s)q_{\pi}(s,a) \]

而(其中,\(P^a_{ss'}\)表示从状态\(s\)开始,采取行动\(a\),移动到状态\(s'\)的概率)

\[ q_{\pi}(s,a)=R^a_{ss'}+\gamma \sum _{s'}P^a_{ss'}\upsilon _{\pi}(s') \]

因此,

\[ \upsilon_{\pi}(s)=\sum_{a\in A}\pi(a|s)(R^a_{ss'}+\gamma \sum_{s'\in S}P^a_{ss'}\upsilon_{\pi}(s')) \]

\[ \upsilon_{\pi}(s')=\sum _{a'\in A}\pi(a'|s')q_{\pi}(s',a') \]

所以,状态-行为值函数是:

\[ q_{\pi}(s,a)=R^a_{ss'}+\gamma \sum_{s'\in S}P^a_{ss'}\sum _{a'\in A}\pi(a'|s')q_{\pi}(s',a') \]

示例:



图中,空心圆圈中的数值为该状态下的值函数实心圆圈表示状态-行为对。除了实心圆圈部分,其他状态转移\(\pi(a|s)=0.5,\gamma =1\)\(s_4\)通过睡觉,可以到达\(s_5\),而通过发表,可以到达\(s_3\)\(s_2\)\(s_4\)

\[ \begin{split} \\\upsilon (s_4)&=\pi(睡觉|s_4)R^{睡觉}_{s_4s_5}+\pi(发表|s_4)(R^{发表}_{s_4s_3}+\gamma (P^{发表}_{s_4s_2}\upsilon (s_2)+P^{发表}_{s_4s_3}\upsilon (s_3)+P^{发表}_{s_4s_4}\upsilon (s_4))) \\&=0.5*10+0.5*(1+1*(0.2*(-1.3)+0.4*2.7+0.4*7.4)) \\&=7.39 \end{split} \]

1.6 最优状态值函数与最优状态-行为值函数及其贝尔曼最优方程

每个策略对应一个状态值函数,最优策略对应着最优状态值函数。

定义:最优状态值函数\(\upsilon ^*(s)\)为在所有策略中值最大的值函数,即\(\upsilon ^*(s)=\underset{\pi}{max}\upsilon_{\pi}(s)\)

最优状态-行为值函数\(q^*(s,a)\)为在所有策略中最大的状态-行为值函数,即\(q^*(s,a)=\underset{\pi}{max}q_{\pi}(s,a)\)

从而,最优状态值函数贝尔曼最优方程(与前面的\(\upsilon _{\pi}(s)\)的区别是,少乘了一个\(\pi(a|s)\)):

\[ \upsilon ^*(s)=\underset{a}{max}R^a_{ss'}+\gamma \sum _{s'\in S}P^a_{ss'}\upsilon ^*(s') \]

最优状态-行为值函数贝尔曼最优方程

\[ q^*(s,a)=R^a_{ss'}+\gamma \sum _{s'\in S}P^a_{ss'}\underset{a'}{max}q^*(s',a') \]

若已各大最优状态-值函数,最优策略可以通过直接最大化\(q^*(s,a)\)来决定:

\[ \pi_*(a|s)=\left\{\begin{matrix} 1 &if\ a=\underset{a\in A}{argmax}q_*(s,a) \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right. \]

1.7 强化学习形式化描述

定义一个离散时间有限范围的折扣马尔科夫决策过程\(M=(S,A,P,r,\rho_0,\gamma,T)\)

  • \(S\)状态集
  • \(A\)动作集
  • \(P:S\times A\times S\rightarrow R\)转移概率
  • \(r:S\times A\rightarrow [-R_{max},R_{max}]\)立即回报函数
  • \(\rho_0:S\rightarrow R\)初始状态分布
  • \(\gamma \in [0,1]\)折扣因子
  • \(T\)水平范围(即步数)

\(\tau \)为一个轨迹序列\(\tau =(s_0,a_0,s_1,a_1,...)\) \(R=\sum _{t=0}^T\gamma ^tr_t\)累积回报

强化学习的目标是找到最优策略\(\pi\),使得该策略下的累积回报期望最大,即

\[ \underset{\pi}{max}\int R(\tau )p_{\pi}(\tau )d\tau \]

2. MDP中的概率学基础

2.1 期望与方差

期望

函数f(x)关于某分布P(x)的期望指,当x由分布P(x)产生,f作用于x时,f(x)的平均值。

  • 离散型随机变量的期望:

\[ E_{x\sim P}[f(x)]=\sum _xP(x)f(x) \]

  • 连续型随机变量的期望通过积分求得:

\[ E_{x\sim P}[f(x)]=\int p(x)f(x)dx \]

期望的运算是线性的:

\[ E_x(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha E_x[f(x)]+\beta E_x[g(x)] \]

方差

方差衡量利用当前概率分布采样时,采样值差异的大小:

\[ Var(f(x))=E[(f(x)-E[f(x)])^2] \]

方差越小,不确定性越小。

2.2 随机策略

2.2.1 贪婪策略

\[ \pi_*(a|s)=\left\{\begin{matrix} 1 &if\ a=\underset{a\in A}{argmax}q_*(s,a) \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right. \]

贪婪策略是一个确定性策略,只有动作值函数\(q^*(s,a)\)最大的动作时取概率1

2.2.2 \(\varepsilon -greedy\)策略

\[ \pi_(a|s)=\left\{\begin{matrix} 1-\varepsilon + \frac{\varepsilon}{|A(s)|} &if\ a=\underset{a\in A}{argmax}q_*(s,a) \\ \frac{\varepsilon}{|A(s)|} & otherwise \end{matrix}\right. \] \(\varepsilon -greedy\)策略是强化学习最基本最常用随机策略。该策略平衡了e&e,也就是利用(exploitation)探索(exploration),其中选取动作值函数最大的部分为利用,其他非最估动作仍然有概率的部分为探索部分。

2.2.3 高斯策略

一般的高斯策略都可以写成

\[ \pi_{\theta}=\mu_{\theta}+\varepsilon,\varepsilon \sim N(0,\sigma ^2) \]

其中\(\mu_{\theta}\)确定性部分\(\varepsilon\)零均值高斯随机噪声。这种策略也平衡利用探索,利用由确定性部分完成,探索由\(\varepsilon\)完成。

2.2.4 玻尔兹曼分布

对于动作空间是离散的,或者动作空间并不大的情况,可以采用玻尔兹曼分布(吉布斯分布)作为随机策略,即:

\[ \pi(a|s,\theta)=\frac{exp(Q(s,a,\theta))}{\sum_bexp(h(s,b,\theta))} \]

其中,\(Q(s,a,\theta)\)是动作值函数。动作值函数大的动作被选中的概率大,小的动作被选中的概率小。

类似softmax,可以参考多类分类下为什么用softmax而不是用其他归一化方法?

3. 基于gym的MDP实例

详见书p29

https://github.com/daiwk/reinforcement-learning-code/blob/master/grid_mdp.py


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本文链接:http://hxhlwf.github.io/posts/rl-stepbystep-chap2.html
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